Ну и я так понимаю, что определённый класс или айди должна Joomla подсунуть в хтмл код...
неправильно Вы понимаете .
как ей дать знать, что этот произвольный модуль содержит меню...
Никак
как такую структуру реализовать через модуль стандартного меню
А чем она будет отличаться от вашей , названиями классов ?
Вы попробуйте , самый верный способ

Создайте меню , опубликуйте модуль mod_mainmenu в нужной позиции , и посмотрите какой код модуль генерирует . Потом присвойте соответствующим пунктам меню , ваши стили .
Только не спрашивайте как узнать какие классы присваиваются пунктам меню .