Алгоритм такой:
1) создаем новую позицию для модуля, скажем "loginchik"
2) присваиваем эту позицию модулю авторизации.
3) в index.php шаблона, в том месте, где должен стоять модуль авторизации, пишем:
<?php
if ( $my->id ) {} else {mosLoadModules ( 'loginchik' ); }
?>
Теперь модуль будет показываться только неавторизованным пользователям.
ВСТРЕЧНЫЙ ВОПРОС: а как ваши посетители будут выходить из сайта? Да еще если при авторизации кто-то укажет "запомнить меня". Не проще просто убрать слова "здрасте, товарищ" ?
Для этого нужно:
открыть файл modules/mod_login.php и закомментировать строки
<?php
if ( $greeting ) {
echo _HI;
echo $name;
}
?>
<br />
А если в настройках модуля убрать показ заголовка, то у нас останется одна хорошенькая кнопочка "выйти"

ЗЫ: очень благодарна за вопрос. Я сама еще полный чайник, так приятно иногда бывает в чем-то разобраться

Теперь у себя тоже буду использовать, для всякого....