Всем спасибо, проблема оказалась не такой сложной, как я предполагал, но, все же, не зная MySQL, я провозился с нею целых три дня. Хотелось бы дать совет всем, кто не знает, как решить любую проблему, пусть даже совершенно не похожую на мою. Прежде всего, мне помогли анализ моих действий за определенный промежуток времени и оценка того, какое из них могло бы, теоретически, повлечь за собой хоть какую-то ошибку. И затем я действовал уже, исходя из этого, проверяя возможные варианты и сужая круг подозреваемых.
В общем-то, проблема оказалась в таблице 'jos_core_acl_aro_groups', в той, где записаны все группы. Я понял, что есть таблица с пользователями ('jos_core_acl_aro'), есть таблица с группами ('jos_core_acl_aro_groups'), а есть таблица, которая их связывает - 'jos_core_acl_groups_aro_map'. В последнюю таблицу записаны ID-номера группы и пользователя, который к этой группе принадлежит. ID он берет по имени пользователя и по имени группы, и проблема состояла в том, что в имени группы у меня вместо 'Registered' стояло 'Пользователь'. Вот такой-вот я безумный локализатор. Он просто не мог найти группу с именем 'Registered' и, следовательно, не делал записи в той таблице.
И именно поэтому Kunena, также, не могла записать туда нового пользователя. И AlphaRegistration не мог, почему у меня и создалось впечатление защиты от записи в этой таблице.
А пришел я к этому благодаря анализу своих действий и поиску возможной ошибки путем отсеивания каких-то вариантов - от большего к меньшему.
P.S. В процессе ее поиска было найдено и исправлено еще несколько ошибок.