Обработка добавления материала Joomla 3 - Разработка расширений для Joomla

Подскажите,

после клика на кнопку "Сохранить" onclick="Joomla.submitbutton('article.save')" в форме добавления материла edit.php, что дальше происходит?

Вызывается функция save из \models\article.php?

нет, вызывается метод save из контроллера, /contollers/article.php
тоесть article.save - это "имя контроллера" точка "имя задачи"

в классах функции называются методами!
а в контроллере родительским методом (getModel) получается модель, соответственно в модели выполняется метод save (функция как вы сказали), там можно обработать данные ($data) передаваемые формой, перед изменением в бд

почитайте документацию про mvc (model, view, controoller)