Как сделать, чтобы был вводный текст новости на главной? Чтобы ссылка "читать далее" была?

На этом сайте на главной странице новости, эта страница - блог категории, и материалы из категории выводятся на этой странице.

Как сделать, чтобы вместо полной новости был вводный текст?

Есть модуль, который все новости делает сокращенными, но он может выводить только заданное количество новостей и не делает разбивку на страницы, а новостей уже много, 1000 штук примерно.

С разбивкой на страницы нужно выводить компонентом. Пункт меню главной должен быть «блог категории» или «избранные материалы». Там же настраивается вывод целиком/кратко.

Этот пункт меню уже является блогом категории.
Компонентом выводить это как?

Ну вот блог категории это view компонента com_content. Если в опциях пункта меню главной всё верно настроить, будет выводить интро с разбивкой на страницы. Т.е. что-то у вас сделано неправильно. Задача самая обычная.